12 附录4 TOPSIS

TOPSIS法

TOPSIS是逼近理想解的排序方法(Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution的英文缩写, 此方法借助多属性问题的理想解和负理想解给出各评价对象(备选方案)的排序。

计算步骤

原始的决策矩阵为$\bm{X}={ x_{ij}}$,数据变换后得到的规范化决策矩阵为$\bm{Z}={ z_{ij}},i=1\cdots m,j=1\cdots n$。

其中$m$为评价指标数量,$n$为评价对象(备选方案)的数量。

Step 1. 根据决策者给定(或使用其他赋权方法计算得到)的权向量$\bm{w}=(w_1,w_2,\cdots,w_m)$,构造加权规范阵

\begin{equation} \overline{z}_{ij} = w_i \cdot z_ij \end{equation}

注:上式最后的$j$应为下标,由于MathJax的问题此公式最后一个符号"z_{ij}"无法正常显示。

Step 2. 对所有的$n$个评价对象,确定每个评价指标的正理想解$\overline{z}_i^+$和负理想解$\overline{z}_i^-$,$i=1,2,\cdots,m$:

\begin{equation} \overline{z}_ij^+ = \max_j \overline{z}_ij, \end{equation}

注:上式最后的$j$应为下标,由于MathJax的问题此公式最后一个符号"\overline{z}_{ij}"无法正常显示。

\begin{equation} \overline{z}_i^- = \min_j \overline{z}_ij. \end{equation}

注:上式最后的$j$应为下标,由于MathJax的问题此公式最后一个符号"\overline{z}_{ij}"无法正常显示。

Step 3. 计算各评价对象到正理想解及负理想解的欧氏距离($d_j^+, d_j^-$)

\begin{equation} d_j^+=\sqrt{\sum_{i=1}^m(\overline{z}_{ij} - \overline{z}_i^+)^2}, j=1,2,\cdots,n \end{equation}

\begin{equation} d_j^-=\sqrt{\sum_{i=1}^m(\overline{z}_{ij} - \overline{z}_i^-)^2}, j=1,2,\cdots,n \end{equation}

$d_j^+$为到正理想解的距离,$d_j^-$为到负理想解的距离。

Step 4. 计算理想解贴近度$C_j$

\begin{equation} C_j=\frac{d_j^-}{d_j^- + d_j^+}, j=1,2,\cdots,n \end{equation}

Step 5. 按$C_j$从大到小排序,得到各评价对象(备选方案)的优劣次序。